Интеграл

Риман интегралы - график астындагы кечкенә турыпочмаклар суммасына тигез

Билгеле интеграл фигура мәйданына тигез

Интеграл - интеграль хисапның төп төшенчәсе, функцияләр, саннар суммасына туры килә, билгеле интеграл функциянең графигы һәм абсцисс күчәре арасындагы мәйданга тигез, димәк кәкре сызыклы трапеция мәйданына тигез.

Ике үзгәрмә зурлык буенча интеграл табу очрагында, интеграл - функция графигының өслеге астындагы күләмгә тигез.

Риман интегралы

Риман интегралы - интеграл табу иң гади ысулы, Риман суммасы нигезендәге алым, ягъни график астындагы кечкенә турыпочмаклар суммасына тигез.

$S=\sum _{i}f(x_i)\mathrm{\Delta }{x}_i.$

Интеграль сумма: ${\sigma }_x=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$

Бүлемнәр адымы $\delta R=\max (\mathrm{\Delta }{x}_i)$ нульгә омтылган очракта, интеграль суммалар бертигез санга омтыла, ул интеграл дип йөртелә:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\lim {}_{\delta R\to 0}{\sigma }_x$

Кисемтәләр кечкенә бүлемнәрен ясап, кечкенә турыпочмаклар мәйданнары суммасы $S=\sum _{i}f(x_i)\mathrm{\Delta }{x}_i.$, чик очрагында ($\mathrm{\Delta }{x}_i$ нульга омтылса), интеграль сумма интегралга омтыла:

$S=\sum _{i}f(x_i)\mathrm{\Delta }{x}_i\to \int f(x)dx.$

Ньютон-Лейбниц тигезләмәсе

Ньютон-Лейбниц тигезләмәсе буенча баштагы функцияләр аермасы билгеле интегралга тигез:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(x\right)\underset{a}{\overset{b}{\mathrm{\backslash vline}}}=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

Кайбер билгесез интеграллар

Дәрәҗәле функцияләр

$\int kdx=kx+C$

$\int x^{a}dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C\text{(for }a\ne -1\text{)}$

$\int (ax+b{)}^{n}dx=\frac{(ax+b{)}^{n+1}}{a(n+1)}+C\text{(for }n\ne -1\text{)}$

$\int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+C$

гомуми очракта,

$\int \frac{1}{x}dx=\{\begin{array}{ll}\ln \left|x\right|+C^{-}& x<0\\ \ln \left|x\right|+C^{+}& x>0\end{array}$

$\int \frac{c}{ax+b}dx=\frac{c}{a}\ln |ax+b|+C$

Экспонент функцияләр

$\int e^{ax}dx=\frac{1}{a}{e}^{ax}+C$

$\int f^{\prime }(x)e^{f(x)}dx=e^{f(x)}+C$

$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$

Логарифмик функцияләр

$\int \ln xdx=x\ln x-x+C$

$\int {\log }_{a}xdx=x{\log }_{a}x-\frac{x}{\ln a}+C$

Тригонометрик функцияләр

$\int \sin xdx=-\cos x+C$

$\int \cos xdx=\sin x+C$

$\int \tan xdx=-\ln |\cos x|+C=\ln |\sec x|+C$

$\int \cot xdx=\ln |\sin x|+C$

$\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C$

$\int \csc xdx=\ln |\csc x-\cot x|+C$

$\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C$

$\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C$

$\int \sec x\tan xdx=\sec x+C$

$\int \csc x\cot xdx=-\csc x+C$

$\int {\sin }^{2}xdx=\frac{1}{2}(x-\frac{\sin 2x}{2})+C=\frac{1}{2}(x-\sin x\cos x)+C$

$\int {\cos }^{2}xdx=\frac{1}{2}(x+\frac{\sin 2x}{2})+C=\frac{1}{2}(x+\sin x\cos x)+C$

$\int {\sec }^{3}xdx=\frac{1}{2}\sec x\tan x+\frac{1}{2}\ln |\sec x+\tan x|+C$

$\int {\sin }^{n}xdx=-\frac{{\sin }^{n-1}x\cos x}{n}+\frac{n-1}{n}\int {\sin }^{n-2}xdx$

$\int {\cos }^{n}xdx=\frac{{\cos }^{n-1}x\sin x}{n}+\frac{n-1}{n}\int {\cos }^{n-2}xdx$

Кире тригонометрик функцияләр

$\int \arcsin xdx=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C,\text{ for }|x|\le +1$

$\int \arccos xdx=x\arccos x-\sqrt{1-x^2}+C,\text{ for }|x|\le +1$

$\int \arctan xdx=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln |1+x^2|+C,\text{ for all real }x$

$\int \mathrm{arccot}xdx=x\mathrm{arccot}x+\frac{1}{2}\ln |1+x^2|+C,\text{ for all real }x$

$\int \mathrm{arcsec}xdx=x\mathrm{arcsec}x-\ln |x(1+\sqrt{1-x^{-2}})|+C,\text{ for }|x|\ge +1$

$\int \mathrm{arccsc}xdx=x\mathrm{arccsc}x+\ln |x(1+\sqrt{1-x^{-2}})|+C,\text{ for }|x|\ge +1$

Һиперболик функцияләр

$\int \sinh xdx=\cosh x+C$

$\int \cosh xdx=\sinh x+C$

$\int \tanh xdx=\ln \cosh x+C$

$\int \coth xdx=\ln |\sinh x|+C,\text{ for }x\ne 0$

$\int \mathrm{sech}xdx=\arctan (\sinh x)+C$

$\int \mathrm{csch}xdx=\ln |\tanh \frac{x}{2}|+C,\text{ for }x\ne 0$

Кире һиперболик функцияләр

$\int \mathrm{arsinh}xdx=x\mathrm{arsinh}x-\sqrt{x^2+1}+C,\text{ for all real }x$

$\int \mathrm{arcosh}xdx=x\mathrm{arcosh}x-\sqrt{x^2-1}+C,\text{ for }x\ge 1$

$\int \mathrm{artanh}xdx=x\mathrm{artanh}x+\frac{\ln (1-x^2)}{2}+C,\text{ for }|x|<1$

$\int \mathrm{arcoth}xdx=x\mathrm{arcoth}x+\frac{\ln (x^2-1)}{2}+C,\text{ for }|x|>1$

$\int \mathrm{arsech}xdx=x\mathrm{arsech}x+\arcsin x+C,\text{ for }0<x\le 1$

$\int \mathrm{arcsch}xdx=x\mathrm{arcsch}x+|\mathrm{arsinh}x|+C,\text{ for }x\ne 0$

Катлаулы функцияләр

$\int \cos ax{e}^{bx}dx=\frac{e^{bx}}{a^2+b^2}(a\sin ax+b\cos ax)+C$

$\int \sin ax{e}^{bx}dx=\frac{e^{bx}}{a^2+b^2}(b\sin ax-a\cos ax)+C$

$\int \cos ax\cosh bxdx=\frac{1}{a^2+b^2}(a\sin ax\cosh bx+b\cos ax\sinh bx)+C$

$\int \sin ax\cosh bxdx=\frac{1}{a^2+b^2}(b\sin ax\sinh bx-a\cos ax\cosh bx)+C$

Әдәбият

• В. А. Гусев, А. Г. Мордкович «Математика»
• Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 1
• Wolfram Integrator — вычисление интегралов онлайн с помощью системы
• В. М. Бородихин, Высшая математика, учеб. пособие, ISBN 5-7782-0422-1