Тейлор рәте

Тейлор рәте - функцияне дәрәҗәле функцияләрнең чиксез суммасына таркату.

Тейлор үз эшен бастырганга кадәр шул рәтне 17 гасырда Ньютон һәм Герегори кулланганнар.

$a$ ноктасында чиксез рәвештә дифференциалана торган $f(x)$ функциясенең Тейлор рәте болай бирелә:

$f(x)$ = $f(a)+\frac{f^{\prime }(a)}{1!}(x-a)+\frac{f^{″}(a)}{2!}(x-a{)}^2+...+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n+...$ = $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k$

биредә $a$ - параметр

Экспоненциаль фунция e^x - зәңгәр төстә, Тейлор рәтенең 0...n+1 әгъзалары (кызыл төстә) экспонентага омтыла

$a=0$ булган очракта Маклорен рәте дип йөртелә

Әгәр $x=a$ ноктасында $f(x)$ функциясе чиксез туры килүче дәрәҗәле функциональ рәт $a$: $f(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_k{(x-a)}^k$ төрендә язылып булса, әлеге функция - аналитик функция дип атала.

Тейлор рәтенең җыелучанлык өлкәсе

Әгәр билгеләнгән өлкәдә аналитик функция үз Тейлор рәтенә тигез булса, ул өлкә - Тейлор рәтенең җыелучанлык өлкәсе дип атала.

Мәсәлән: $f(x)=\frac{1}{1-x}$ функциясе Тейлор рәтенә таркатылып була: $\frac{1}{1-x}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^k$ (билгеле геометрик прогрессия)

Ләкин бу функция $x=1$ ноктада билгеләнмәгән, шуңа күрә Тейлор рәте тик $|x|<1$ өлкәсендә җыела.

Тейлор рәтенең җыелучанлык радиусы Даламбер формуласында билгеләнә:

$R=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{b_k}{b_{k+1}}\right|=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{\frac{f^{(k)}(a)}{k!}}{\frac{f^{(k+1)}(a)}{(k+1)!}}\right|=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{f^{(k)}(a)}{f^{(k+1)}(a)}(k+1)\right|$.

Тейлор тигезләмәсе

Әгәр $f(x)$ функциясе $a$ һәм $x$ арасындагы кисемтәдә $n+1$ чыгарылмага ия булса, шунда $\xi$ ноктасы янында функцияне болай таркатып була:

$f(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k+{\left(\frac{x-a}{x-\xi }\right)}^p\frac{(x-\xi {)}^{n+1}}{n!p}{f}^{(n+1)}(\xi ).$

икенче әгъза - калдык әгъза дип атала

Калдык әгъза бирничә формада бирелеп була:

• Лагранж: $R_n(x)=\frac{(x-a{)}^{n+1}}{(n+1)!}{f}^{(n+1)}[a+\theta (x-a)]p=n+1;0<\theta <1$
• Коши: $R_n(x)=\frac{(x-a{)}^{n+1}(1-\theta {)}^n}{n!}{f}^{(n+1)}[a+\theta (x-a)]p=1;0<\theta <1$
• интеграль формада: $R_n(x)=\frac{1}{n!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^n{f}^{(n+1)}(t)dt$

Кайбер функцияләрнең Маклорен рәтләре

Тейлор рәте $a=0$ булган очракта Маклорен рәте дип йөртелә:

• Экспонента: ${\mathrm{e}}^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!},x\in \mathbb{ℂ}$
• Натураль логарифм: $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{n+1}}{(n+1)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}{x}^n}{n},$ барлык $-1<x\le 1$ өчен
• Ньютон биномы: $(1+x{)}^{\alpha }=1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})x^n,$ для всех $\left|x\right|<1$ һәм барлык комплекс $\alpha ,$ өчен , биредә $(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})=\prod _{k=1}^n\frac{\alpha -k+1}{k}=\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}$
  • Квадрат тамыр: $\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}-\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(2n)!}{(1-2n)n{!}^2{4}^n}{x}^n,$ бар $|x|<1$ өчен
  • $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n,$ барлык $|x|<1$ өчен
  • Чикле геометрик рәт: $\frac{1-x^{m+1}}{1-x}=\sum _{n=0}^m{x}^n,$ бар $x=1,m\in {\mathbb{\mathbb{N}}}_0$ өчен
• Тригонометрик функцияләр:
  • Синус: $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},x\in \mathbb{ℂ}$
  • Косинус: $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n},x\in \mathbb{ℂ}$
  • Тангенс: $\mathrm{tg}x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2n}(-4{)}^n(1-4^n)}{(2n)!}{x}^{2n-1},$ барлык $\left|x\right|<\frac{\pi }{2},$ өчен, $B_{2n}$ — Бернулли саннары
  • Секанс: $\sec x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{E}_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n}$ барлык $\left|x\right|<\frac{\pi }{2}$ өчен
  • Арксинус: $\arcsin x=x+\frac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}$ барлык $\left|x\right|<1$ өчен
  • Арккосинус: $\arccos x=\frac{\pi }{2}-\arcsin x=\frac{\pi }{2}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}$ барлык $\left|x\right|<1$ өчен
  • Арктангенс: $\mathrm{arctg}x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{2n-1}{x}^{2n-1}$ барлык $\left|x\right|<1$ өчен
• Гиперболик функцияләр:
  • $\mathrm{sh}\left(x\right)=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n+1)!}{x}^{2n+1},x\in \mathbb{ℂ}$
  • $\mathrm{ch}\left(x\right)=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n)!}{x}^{2n},x\in \mathbb{ℂ}$
  • $\mathrm{th}\left(x\right)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2n}{4}^n(4^n-1)}{(2n)!}{x}^{2n-1}$ барлык $\left|x\right|<\frac{\pi }{2}$ өчен
  • $\mathrm{arsh}\left(x\right)=x-\frac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}-\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}$ барлык $\left|x\right|<1$ өчен
  • $\mathrm{arth}\left(x\right)=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2n+1}{x}^{2n+1}$ барлык $\left|x\right|<1$ өчен

Әдәбият

• Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х. Математический анализ, ч. 1, изд. 3, ред. А. Н. Тихонов. М.: Проспект, 2004.
• Камынин Л. И. Математический анализ. Т. 1, 2. — 2001.
• Киселёв В. Ю., Пяртли А. С., Калугина Т. Ф. Высшая математика. Первый семестр, Интерактивный компьютерный учебник.
• Петрова С. С., Романовска Д. А. К истории открытия ряда Тэйлора. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1980. — № 25. — С. 10-24.
• Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике, изд.: АЙРИС-пресс, 2002.